특수상대성 이론의 간단한 이해 : 시간 지연과 길이 수축

특수 상대성 이론에서 가장 많이 거론되는 것이라면 광속 불변과 함께 시간 지연 및 길이 수축일 것이다.

이 글에서는 시간 지연과 길이 수축에 대해서 알아보고, 자칫 실수하기 쉬운 부분도 함께 살펴보고자 한다.

먼저 시간 지연 현상부터 알아보자. 열차가 기차역을 지나고 있다. 열차 안에는 관측자 A 가 있고, 이 열차 안에서 레이저를 바닥에서 천정 방향으로 수직으로 쏘았다. 이 때 열차는 비록 움직이고 있지만, 열차 안에 있는 관측자 A 는 이 열차 안에 정지해 있다. 따라서 관측자 A 의 관점에서 레이저의 자취는 다음과 같다.

관측자 A 가 본 모습

레이저가 겹치는 것을 방지하기 위해 따로 떨어뜨려 그렸다는 것은 알아 두자. 

이번에는 기차역에 정지해 있는 관측자 B 의 관점에서 보자. 관측자 B 에게 열차는 기차역에 대해 오른쪽으로 움직이고 있다. 따라서 레이저의 자취는 관측자 A 가 본 모습과는 다르다. 관측자 B 에게 레이저 자취는 이렇게 보일 것이다.

관측자 B 가 본 모습

간단히 생각해 보자. 광속은 어디에 있는 관측자가 보더라도 같아야 한다. 광속불변의 법칙이다. 따라서 관측자 A 가 본 레이저의 이동 거리는 관측자 B가 본 레이저의 이동 거리보다 짧으므로 광속을 같게 하기 위해서는 이동 시간에서 차이가 나야 한다.

광속 = 빛의 이동 거리 / 빛의 이동 시간

이므로,

빛의 이동 시간 = 빛의 이동 거리 / 광속

이다. 그런데 광속이 일정하므로, 빛의 이동 시간은 빛의 이동 거리에 비례하게 된다. 

따라서 관측자 A 가 본 레이저의 이동 거리는 관측자 B 가 본 레이저의 이동 거리보다 짧으므로 관측자 A 가 측정한 레이저의 이동 시간은 관측자 B 가 측정한 레이저의 이동 시간보다 짧게 측정된다.

다시 말해서, 정지해 있는 관측자 B 의 시간이 움직이고 있는 관측자 A 의 시간보다 빨리가는 것이다. 이것이 시간 지연이다.

그런데 이렇게 설명할 때 생기는 흔한 오해는, 움직이는 쪽의 시간이 천천히 가고, 정지해 있는 쪽의 시간이 빨리 간다고 그대로 이해하는 것이다. 하지만 이렇게 받아들이면 틀리기 쉽다. 보다 정확히 표현하면 이렇게 된다.

움직이는 쪽에서 한 지점에 정지해 있는 하나의 시계로 측정한 시간이, 정지해 있는 쪽에서 서로 떨어져 있는 두 지점에서 동기화된 시계로 측정한 시간보다 천천히 간다

이다.

이 때, 한 지점에 정지해 있는 하나의 시계로 측정한 시간을 고유 시간이라고 한다.

이번에는 길이 수축 현상을 알아보자. 길이 수축 현상을 확인하려면 길이를 측정해야 하는데, 이 때에는 세심한 방법이 필요하다.

다음 그림을 보자.

관측자 A 는 기차역에 있고, 관측자 B 는 화살표 모양의 열차에 타고 있다. 이 상황에서 관측자 A 와 관측자 B 는 어떻게 빨간 막대의 길이를 측정할 수 있을까 ? 기본적인 방법은 속력, 시간, 거리의 관계를 이용하는 것이다. 다시 말해서,

거리 = 속력 X 시간

을 이용하는 것이다. 

먼저 관측자 B 가 측정하는 방법을 살펴보자. 일단 열차의 속력을 v 라고 가정하자. 관측자 B 는 하나의 시계를 가지고, 시계의 위치가 막대의 처음과 끝을 지나는 순간에 각각 시간을 측정한다. 이 때의 시간을 Tb 이라 하고, 관측자 B 가 본 막대의 길이를 Lb 이라고 하면,

Lb = v X Tb ----- (1)

이 된다. 

관측자 A 는 어떻게 측정해야 할까 ? 막대는 관측자 A 쪽에 정지해 있기 때문에 자를 대고 측정하면 되겠지만, 이번에는 열차를 이용해 보자. 방법은 이렇다. 두 개의 동기화된 시계를 막대의 양 끝에 하나씩 놓는다. 그리고 열차의 머리가 막대의 왼쪽 끝에 위치할 때 시작 시간을 측정하고, 열차의 머리가 막대의 오른쪽 끝에 위치할 때 끝나는 시간을 측정한다. 이렇게 측정한 시간을 T 라고 하고, 관측자 A 가 본 막대의 길이를 La 이라고 하면,

La = v X Ta ----- (2)

가 된다.  여기에서 v 는 관측자 A 가 측정한 것이나, 관측자 B 가 측정한 것이나 같다. 왜냐하면 각 자에 대한 상대적인 운동이기 때문이다.

이제 Lb 과 La 를 연결해 보자.  식 (1) 을 식 (2)로 나누면 이렇게 된다.

Lb / La = Tb / Ta ----- (3)

가 된다. 이 식을 보면, 처음에는 거리의 문제로 시작했지만, 결국에는 시간의 문제로 바뀌게 된다. 다시 말해서, 시간 지연 현상의 문제가 되는 것이다. 관측자 B 의 입장에서 보면 막대가 움직이고 있고, 관측자 A 의 입장에서 보면 막대는 정지해 있다. 결국 관측자 A 는 관측자 B 에 대해 움직이고 있으므로, 관측자 A 의 시간(Ta)이 관측자 B 의 시간(Tb)보다 천천히 간다. 라고  한다면 옳은 해석일까 ? 아니다. 이렇게 되면 Tb > Ta 가 되어 식 (3)에서 Lb > La 이 된다. 길이가 짧아지는 것이 아니라 길이가 오히려 늘어나게 된다. 왜 이런 문제가 발생하는 것일까 ?

이것은 바로 앞서 시간 지연에서 지적했듯이 고유 시간에 대한 개념을 제대로 이해하지 못했기 때문이다. 시간이 빨리 간다는 것은, 서로 떨어져 있고 동기화된 두 개의 시계로 측정한 시간이, 한 곳에서 하나의 시계로 측정한 시간보다 빨리 간다는 것이다. 따라서 Tb > Ta 가 되는 것이 아니라 하나의 시계로 측정한 고유시간 Tb 가 두 개의 시계로 측정한 Ta 보다 천천히 가므로 Tb < Ta 가 된다. 이를 다시 식 (3)에 적용하면 Lb < La 라는 결론을 얻게 된다. 관측자 B 가 측정한 길이가 관측자 A 가 측정한 길이보다 짧아지게 된다. 다시 말하면, 관측자 B 에 대해 상대적으로 움직이고 있는 막대의 길이는, 관측자 B 가 측정한 길이가 그 물체가 정지해 있는 관측자 A가 측정한 길이보다 짧게 측정된다. 이것이 길이 수축이다. 여기에서, 한 물체가 정지해 있는 관성계에서 측정한 물체의 길이를 고유 길이라고 한다. 간단히 말하면, 움직이는 물체의 길이는 그 물체의 고유 길이보다 짧아진다라고 말할 수 있다. 하지만, 다시 한 번 조심할 것은 모든 길이가 다 짧아지는 것은 아니다. 오직 운동 방향의 길이만 짧아진다. 예를 들어 정사각형이 가로 방향으로 운동하고 있으면 가로 길이가 짧아지고, 세로 방향으로 운동하고 있으면 세로 길이가 짧아진다.

시간 지연과 길이 수축을 보다 정량적으로 이해하고 싶거나, 특수 상대성 이론을 보다 심도 있게 이해하고 싶은 사람들은 다음 문서를 읽어보면 도움이 될 것이다.

http://nucl-a.inha.ac.kr/physics/phys2/main/class/12/note.pdf

 출처 : [차교수와 물리 산책]