좀딱의 또다른 세상

몬티 홀 문제를 정리하면 다음과 같다.   1. 세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있다 2. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다 3. 출연자가 문 하나를 선택한다 4. 진행자가 다른 문 하나를 열어 문 뒤에 염소가 있음을 보여준다 5. 진행자가 출연자에게 아직 열리지 않은 문으로 선택을 바꿀 것인지 묻는다 6. 출연자가 자동차를 가지려고 할 때 선택한 문을 바꾸는 게 유리할까?   결론은 바꾸는 게 유리하다, 그것도 2배의 확률로.   1. 문을 바꾸지 않을 때 자동차를 가질 확률 A B C 세 개의 문 중에 A에 자동차, B, C에 염소가 있고, 출연자가 문을 바꾸질 않는 경우는 다음과 같다. 첫번째, 사용자가 A를 고른 후 옮기지 않은 경우 -> A: 자동차(1/3 * 1 = 1/3) 두번째, 사용자가 B를 고른 후 옮기지 않은 경우 -> B: 염소(1/3 * 0 = 0) 세번째, 사용자가 C를 고른 후 옮기지 않은 경우 -> C: 염소(1/3 * 0 = 0) 따라서 자동차를 가질 확률은 1/3 이다.   2.  문을 바꿀 때 자동차를 가질 확률 마찬가지로 A, B, C 중 A에 자동차, B, C에 염소가 있다고 할 때, 출연자가 문을 바꾸는 경우는 다음과 같다. 모든 경우의 수를 세어 보자. 첫번째, 사용자가 A를 고른 후 옮긴 경우 -> B, C: 염소(1/3 * 0 = 0) 두번째, 사용자가 B를 고른 후 옮긴 경우(진행자가 C를 엶) -> A: 자동차(1/3 * 1 = 1/3) 세번째, 사용자가 C를 고른 후 옮긴 경우(진행자가 B를 엶) -> A: 자동차(1/3 * 1 = 1/3) 따라서 자동차를 가질 확률은 2/3 이다.   결국, 문을 바꾸는 것(2/3)이 문을 바꾸지 않는 것(1/3)보다 자동차를 가질 확률이 2배 더 높다.    3. n 개의 문이 있을 때 n 개의 문이...

일의 원리를 설명할 때 반드시 빠지지 않고 나오는 것 중의 하나가 도르래이다. 그 중에서도 움직 도르래의 경우 힘의 분산을 통해서 일의 원리를 설명한다. 다시 말해서, 힘이 분산으로 물체에 작용하는 힘의 크기가 물체 무게의 반으로 줄고, 대신에 줄을 당기는 길이가 물체의 올라간 높이보다 두 배가 되므로 직접하는 일이나 움직 도르래로 하는 일이나 같다는 것이다. 결국, 줄을 당기는 길이를 경험적으로 증명하거나, 또는 역으로 일의 원리를 바탕으로 줄을 당기는 길이가 두 배가 된다는 것을 증명한다. 이것은 물리적 관점에서 이해한 것이다. 그렇다면, 일의 원리나 힘의 분산에 의존하지 않고 줄을 당기는 길이가 물체 이동 거리의 두 배가 된다는 것을 증명하는 방법은 없을까 ? 지금부터 그 방법을 알아보자. 다음은 움직 도르래로 물체를 들어올리고 있는 그림이다. 증명을 간단히 하기 위해서 아래쪽 도르래 중심의 오른쪽에 줄의 끝이 닿아 있다고 하자. 이제 물체를 h1 만큼 들어올린다. 이렇게 되면 위쪽 도르래 중심과 아래쪽 도르래 중심의 차이는 h1 이 된다. 이때 h1 = h2 이다. 그렇다면 h3, 곧 물체를 들어올릴 때 감긴 줄의 길이는 얼마가 될까 ? 먼저 물체를 들어올리기 전의 걸려 있는 줄의 길이를 계산해 보자. 위쪽 도르래 중심의 왼쪽에 닿아있는 부분부터  아래쪽 도르래 중심의 왼쪽까지 걸려 있는 줄의 길이는 h1 이다. 그리고 나머지 줄의 길이는 도르래 둘레의 절반이다. 이번에는 물체를 들어올리고 나서 걸려 있는 줄의 길이를 계산해 보자. 위쪽 도르래 중심의 왼쪽에서부터 도르래를 걸쳐 오른쪽 위로 있는 줄의 길이를 계산하면 된다. 도르래에 걸쳐 있는 줄의 길이는 도르래 둘레의 절반이고, 올라가 있는 줄의 길이는 h3 이다. 이 때, 위쪽 도르래 중심 왼쪽에서부터 줄 끝까지의 길이는 같아야 한다. 따라서 h1 + 도르래 둘레 절반 = 도르래 둘레 절반 + h3 가 성립하고, 결국 h1 = h3 가 된다. ...