몬티 홀 문제

몬티 홀 문제를 정리하면 다음과 같다.

 

1. 세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있다

2. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다

3. 출연자가 문 하나를 선택한다

4. 진행자가 다른 문 하나를 열어 문 뒤에 염소가 있음을 보여준다

5. 진행자가 출연자에게 아직 열리지 않은 문으로 선택을 바꿀 것인지 묻는다

6. 출연자가 자동차를 가지려고 할 때 선택한 문을 바꾸는 게 유리할까?

 

결론은 바꾸는 게 유리하다, 그것도 2배의 확률로.

 

1. 문을 바꾸지 않을 때 자동차를 가질 확률

A B C 세 개의 문 중에 A에 자동차, B, C에 염소가 있고, 출연자가 문을 바꾸질 않는 경우는 다음과 같다.

첫번째, 사용자가 A를 고른 후 옮기지 않은 경우 -> A: 자동차(1/3 * 1 = 1/3)

두번째, 사용자가 B를 고른 후 옮기지 않은 경우 -> B: 염소(1/3 * 0 = 0)

세번째, 사용자가 C를 고른 후 옮기지 않은 경우 -> C: 염소(1/3 * 0 = 0)

따라서 자동차를 가질 확률은 1/3 이다.

 

2.  문을 바꿀 때 자동차를 가질 확률

마찬가지로 A, B, C 중 A에 자동차, B, C에 염소가 있다고 할 때, 출연자가 문을 바꾸는 경우는 다음과 같다.

모든 경우의 수를 세어 보자.

첫번째, 사용자가 A를 고른 후 옮긴 경우 -> B, C: 염소(1/3 * 0 = 0)

두번째, 사용자가 B를 고른 후 옮긴 경우(진행자가 C를 엶) -> A: 자동차(1/3 * 1 = 1/3)

세번째, 사용자가 C를 고른 후 옮긴 경우(진행자가 B를 엶) -> A: 자동차(1/3 * 1 = 1/3)

따라서 자동차를 가질 확률은 2/3 이다.

 

결국, 문을 바꾸는 것(2/3)이 문을 바꾸지 않는 것(1/3)보다 자동차를 가질 확률이 2배 더 높다. 

 

3. n 개의 문이 있을 때

n 개의 문이 있을 때, 1 개의 문 뒤에만 자동차가 있고 나머지 문 뒤에는 염소가 있다고 하자. 이 때 출연자가 1 개의 문을 고른 뒤에 진행자는 염소가 있는 문을 보여주고, 문을 바꿀 것인지 묻는다면 문을 바꾸지 않을 때와 바꿀 때는 각각 다음의 확률이 된다.

 

3-1. 문을 바꾸지 않을 때

출연자가 자동차를 가질 확률은 n 개의 문 중에 단 1 개의 문을 고르는 경우이므로 1/n 이다.

 

3-2. 문을 바꿀 때

문을 바꾸어 자동차를 가지는 것이므로 처음에는 염소가 없는 문을 골라야 한다. 전체 문은 n 개이고, 염소가 있는 문은 n-1 이므로 (n - 1) / n 이다. 

진행자가 염소가 있는 문을 보여주었으므로 남아 있는 문은 n - 2 개이고, 이 중에 자동차가 있는 문은 1 개뿐이므로 남은 문 중에서 자동차가 있는 문을 고를 확률은 1 / (n - 2) 이다.

따라서 문을 바꾸어 자동차를 가질 확률은 (n - 1) / n * 1 / (n - 2) 이다. 

이를 몬티 홀 문제에 적용해 보면 n = 3 이므로, 문을 바꾸지 않을 때는 1/3 이고 문을 바꿀 때는 (3 - 1) / 3 * 1 / (3 - 2) = 2/3 이다. 

 

4. 4개의 문에 적용하기

 

4-1. 문을 바꾸지 않을 때

A, B, C, D 중 A에만 자동차가 있다면, 문을 바꾸지 않을 때 자동차를 가질 확률은 1/4이다.

 

4-2. 문을 바꿀 때

A, B, C, D 중 A에만 자동차가 있다면, 문을 바꾸는 경우의 수는 다음과 같다.

첫번째, A를 고른 후 B로 옮기는 경우(진행자가 D를 엶) -> B: 염소(1/4 * 0 = 0)

두번째, A를 고른 후 C로 옮기는 경우(진행자가 D를 엶) -> C: 염소(1/4 * 0 = 0)

세번째, B를 고른 후 C로 옮기는 경우(진행자가 D를 엶) -> C: 염소(1/4 * 0 = 0)

네번째, B를 고른 후 A로 옮기는 경우(진행자가 D를 엶) -> A: 자동차(1/4 * 1/2 = 1/8)

다섯번째, C를 고른 후 B로 옮기는 경우(진행자가 D를 엶) -> B: 염소(1/4 * 0 = 0)

여섯번째, C를 고른 후 A로 옮기는 경우(진행자가 D를 엶) -> A: 자동차(1/4 * 1/2 = 1/8)

일곱번째, D를 고른 후 B로 옮기는 경우(진행자가 C를 엶) -> B: 염소(1/4 * 0 = 0)

여덟번째, D를 고른 후 A로 옮기는 경우(진행자가 C를 엶) ->A: 자동차(1/4 * 1/2 = 1/8)

따라서 확률은 3/8 이다.

이를 위 공식에 대입해 보면  (4 - 1) / 4 * 1 / (4 - 2) = 3/8 으로 마찬가지 확률이 나온다.