별의 광도와 생명가능지대

생명가능지대는 물이 액체 상태로 존재할 수 있는 영역을 뜻한다. 그리고 생명가능지대는 별의 광도에 따라 달라진다. 별의 광도가 커질수록 생명가능지대가 시작되는 지점, 끝나는 지점까지의 거리와 두 지점 사이의 거리는 멀어진다. 이를 간단히 증명해보고자 한다.

별의 광도를 L, 행성까지의 거리를 d라고 하면 행성에서 단위 면적당 받는 에너지 크기는 다음과 같다.

E = k * L / d^2(단, k는 상수)

그런데 생명가능지대가 시작되는 지점과 끝나는 지점에서 단위 면적당 받는 에너지 크기는 항상 일정하다. 각각의 에너지 크기를 E1, E2, 거리를 d1, d2라고 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다.

E1 = k * L / d1^2, d1 = √(k * L / E1) ----- (1)

E2 = k * L / d2^2, d2 = √(k * L / E2) ----- (2)

(1), (2)에서 k, E1, E2는 일정하므로 d1, d2는 L이 커질수록 커진다. 따라서 별의 광도가 클수록 생명가능지대가 시작되는 지점과 끝나는 지점은 멀어진다.

이제 (2)를 (1)로 나누면,

d2 / d1 = √(E1 / E2), d2 = √(E1 / E2)d1

이므로,

d2 - d1 = √(E1 / E2)d1 - d1 = (√(E1 / E2) - 1)d1 = (√(E1 / E2) - 1) * √(k * L / E1)

이다. 이 때 k, E1, E2는 일정하므로 d2 - d1은 오로지 L로 결정된다. 따라서 광도가 클수록 생명가능지대의 폭은 넓어진다.

증명 끝.

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